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01

(資料圖片)

整式運(yùn)算的幾何意義

例題1：我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來(lái)解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以用來(lái)解釋a2-b2=（a+b）（a-b）．那么通過(guò)圖2面積的計(jì)算，驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此等式是

分析：此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是大正方形的面積減去小正方形的面積，還可以表示成4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積。

解：由圖②，可知：大正方形的面積為：（a+b）^2，小正方形的面積為（a-b）^2，

∴陰影部分的面積為：（a+b）^2-（a-b）^2，

部分陰影部分的面積還可表示為：4ab，

∴（a+b）^2-（a-b）^2=4ab．

這類題目解題的關(guān)鍵在于對(duì)圖形的分割與拼合，會(huì)用多種方法表示同一圖形的面積，然后抓住同一圖形的面積相等，得到關(guān)系式。

02

公式法幾何意義

例題2：請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：

（1）根據(jù)圖①中條件，請(qǐng)用兩種不同方法表示兩個(gè)陰影圖形的面積的和；

（2）在（1）的條件下，如圖②，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a，b，如果a+b=ab=9，求陰影部分的面積．

解：（1）方法一：兩個(gè)正方形的面積和，即a^2+b^2，

方法二：邊長(zhǎng)為a+b的正方形的面積減去兩個(gè)空白的長(zhǎng)方形的面積，即（a+b）^2-2ab，因此有a^2+b^2=（a+b）^2-2ab，

（2）圖②陰影部分的面積是兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形的面積和減去兩個(gè)直角三角形的面積，即a^2+b^2-1/2a×a-1/2（a+b）×b=1/2a^2+1/2b^2-1/2ab=1、2（a^2+b^2-ab）=1/2[（a+b）^2-3ab]，當(dāng)a+b=ab=9時(shí)，原式=1/2×（81-27）=27，

答：陰影部分的面積為27．

本題考查完全平方公式的幾何背景，用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積是得出關(guān)系式的前提。當(dāng)然，題目一般不會(huì)如此簡(jiǎn)單，會(huì)考查完全平方公式的變形，因此也需要掌握完全平方公式的各種變形公式。

03

因式分解幾何背景

例題3：我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）=a^2+3ab+2b^2．

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；

（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a^2+b^2+c^2的值；

（3）圖3中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片及若干個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片，請(qǐng)利用所給的紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，使它的面積為2a^2+5ab+2b^2，把拼出的圖形畫在方框內(nèi)，并拼出的圖形將多項(xiàng)式2a^2+5ab+2b^2分解因式．

分析：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式．

（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，將a+b+c=11，ab+bc+ac=38作為整式代入即可求出．

（3）找規(guī)律，根據(jù)公式畫出圖形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使它滿足所給的條件．

end

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