最近，王玨老師看到一篇文章

是 南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系終身教授 丁玖寫的

從他個人的角度，探討成為“好教師”的“條件”。

(相關(guān)資料圖)

這篇文章并非從“理論”的高度來闡釋

完全是一位30多年教齡

且樂于教學(xué)、善于教學(xué)的老師的個人感悟，

我覺得很有啟發(fā)、也很有共鳴，

它與從“學(xué)習(xí)科學(xué)”理論角度所作出的研究

是完全可以相互印證的！

我由此聯(lián)想到最近這些年來，

各種新理念、新概念層出不窮，

卻忽視了老師自身的素質(zhì)和素養(yǎng)。

事實上，

如果老師自身足夠優(yōu)秀的話

即使沒有這些新理念、新概念，

同樣可以做出好的教學(xué)

數(shù)千年來、近百年來、直至當(dāng)下的教學(xué)實踐

無疑都是以上觀點的明證：

即使對于新理念、新概念本身來說

它們是否能落地、能見成效

也依賴于老師的素質(zhì)和能力！

另一方面，如果這些新理念、新概念逐步被淘汰

一位優(yōu)秀教師一定仍在發(fā)揮他的作用！

以下是丁玖教授的文章 精華摘要

讓我們一起來借鑒一位老教授的教學(xué)智慧！

（部分內(nèi)容后面附上我本人的閱讀心得，希望沒有過多地打擾到大家的閱讀思緒）

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現(xiàn)實中普遍的情況是，大學(xué)在讀生或畢業(yè)生要么吐槽數(shù)學(xué)教科書參考書寫得太次，要么埋怨數(shù)學(xué)正教授副教授教得太差。

倘若一名學(xué)生是個有志青年，極具學(xué)習(xí)的動力，但捧在手里的是粗制濫造甚至錯誤百出的必修教材，聽的是照本宣科或者思維混亂的課堂教學(xué)，如果不讓其吐出“把教科書摔掉”或“老師可以休矣”的一聲嘆息乃至滿腔怒火，我們的學(xué)校就應(yīng)該關(guān)門。

確實，太多的學(xué)生數(shù)學(xué)沒學(xué)好或終生恨數(shù)學(xué)，一個 重要原因是老師沒教好。因此，探究“數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么教”是每一位數(shù)學(xué)教師不得不設(shè)法求解的問題，無論他是大學(xué)教授還是中小學(xué)老師。作為在中國的大學(xué)教過三學(xué)期基礎(chǔ)或?qū)I(yè)課、在美國的大學(xué)正式教了近33年書的一位老數(shù)學(xué)教師，我想分享一下自己對這一問題的認(rèn)識與實踐，同時傳播我見過的幾個教學(xué)名師的觀念與做法。

條件一：熱情似火

美國布朗大學(xué)的已故應(yīng)用數(shù)學(xué)教授、寫過一本巨著《古今數(shù)學(xué)思想》的克萊因(Morris Kline，1908-1992)，對于課堂教學(xué)有過一段精辟論述和殷切期待，翻譯成中文是：

“我想力勸每位老師成為演員。他必須借助于如劇場用的每一種設(shè)備來使課堂技巧 生機盎然。在適當(dāng)時他可以也應(yīng)當(dāng)成為 戲劇性的。他不僅有事實，而且有火。他甚至可以利用近乎怪癖的舉動來激發(fā)人們的 興趣。他不應(yīng)該害怕 幽默，而應(yīng)將之應(yīng)用自如。這樣，即使是不相干的笑話或故事也會使課堂極大地 活躍起來?！?

數(shù)學(xué)既是精確演繹的科學(xué)，也是語言嚴(yán)密的藝術(shù)，她不僅難學(xué)，而且難教。這就引出教好數(shù)學(xué)的一項必要條件： 你必須胸中升起克萊因希望你能點燃的激情之火。

【王玨老師呼應(yīng)：這塊是大家公認(rèn)、但又不容易解釋的。腦科學(xué)研究已經(jīng)清晰地揭示了 “情感”對“認(rèn)知”具有極為強大的作用，本公眾號曾發(fā)表過多篇文章進行介紹?！?

熱愛教書的人幾乎都有“ 大嗓門”的特點，他們講課的聲音可以穿透教室的每一個角落，即便是耳背的退休老人，也可以坐在教室的后排旁聽，清楚地收到年輕時因貪玩沒能學(xué)會的知識。 不要低估這個“音響效果”，它是衡量書教得好不好的一個重要指標(biāo)。

我一生中有幸受教過的幾位數(shù)學(xué)老師，課堂中無一不以 中氣飽滿留給學(xué)生深刻印象。我在南京大學(xué)讀大一時教我們《線性代數(shù)》的林成森老師，他不光中文字發(fā)音清楚，語調(diào)抑揚頓挫，而且新出場的數(shù)學(xué)概念也 解釋得比水晶還一清二楚。我曾在一部回憶錄里寫道：“他的課如果聽不懂的話，只能要問自己的腦子是否要動個小手術(shù)了?！?/p>

比他講課還要“盡情表演”的要算我在密歇根州立大學(xué)時的博士論文導(dǎo)師李天巖教授了。他完全有資格充當(dāng)克萊因教授的“案例”展現(xiàn)給讀者示范怎樣教書。 那種激情澎湃，那種感染力度，把坐在那里的所有學(xué)生都融化了。面對這樣的教書先生，學(xué)不好才怪呢。

條件二：胸有丘壑，腹有錦繡

這就引出了教好數(shù)學(xué)的另一個必要條件：自信不應(yīng)是盲目的自信，而是來自于對所教學(xué)科知識的融會貫通和全面了解。

【王玨老師呼應(yīng)：融會貫通，是對學(xué)科理解的極高要求。按照Shulmal教授所提出的PCK理論，這是屬于CK——“學(xué)科內(nèi)容知識”的范疇。當(dāng)今比較流行的 “大概念/大觀念”，之所以不容易在一線落地，是因為它要求的并非“教學(xué)法知識（PK）”的變革，而是要求老師對“學(xué)科內(nèi)容知識（CK）”有更為深刻的、本源性的理解，這恐怕就超出了大多數(shù)老師的現(xiàn)有能力?！?

然而，大腦里裝有學(xué)科知識與教好這門學(xué)科還不能彼此等同。就像有人“生來就會教書”，也有人雖然學(xué)富五車，卻不懂“教書藝術(shù)”。后者我在中美讀書和教書的生涯中見過一些。滿腦學(xué)問的人在教書時可能以為對面的學(xué)生腦子和他一樣靈，接受能力和他一樣強，這 大錯特錯。

“教書學(xué)”應(yīng)該有一條公理：“把學(xué)生當(dāng)作‘笨蛋’”。這樣，教書先生就會下功夫做到“將‘笨蛋’教懂”，正如李天巖教授生前所言所做的那樣。懷抱這個信念的教師一定不差！

【王玨老師呼應(yīng)：我老說“ 說人話”，費曼說“ 能讓12歲的孩子理解”，都是類似的意思……】

有句俗語形象地說出了對老師的教學(xué)要求： 要給學(xué)生一杯水，教師就得有一桶水。這一桶水包括臨近學(xué)科的知識或更高觀點的視野。比方說，《數(shù)學(xué)分析》的主講老師，如果對近代抽象分析知之甚少，甚至都不知道實變函數(shù)或泛函分析的基本內(nèi)容，可能難以教得“滴水不漏”，當(dāng)他教到黎曼積分時，不一定能啟發(fā)學(xué)生思考它的局限或科普更一般勒貝格積分的基本思想。德國數(shù)學(xué)家克萊因 (Filex Klein，1849-1925) 于1872年提出了著名的埃爾蘭根綱領(lǐng)，將不同幾何看成以不同變換群的某種不變性為其特征，這是對連綿幾千年的幾何學(xué)的一個高屋建瓴的近代觀點。他后來寫過一本名著《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》。如果一名中學(xué)數(shù)學(xué)老師對這本杰作的內(nèi)容有所領(lǐng)會，就會對教學(xué)內(nèi)容有更深刻的理解，甚至可以指導(dǎo)班上那幾個天賦高想吃小灶的少年俊杰盡早接觸高一檔次的數(shù)學(xué)。

【王玨老師呼應(yīng)：1、強調(diào)老師和研究者必須要站在“高觀點”上，這也是國科大曹則賢教授大力提倡的；2、 與其強調(diào)“大概念”，不如強調(diào)“高觀點”和“學(xué)科底層邏輯”--底層邏輯是我個人特別提倡的】

“一桶水”中還有一部分是從“ 學(xué)科史 ”的小溪中流進的。對數(shù)學(xué)教學(xué)，這尤其重要，因為向?qū)W生傳輸數(shù)學(xué)思想的演化以及關(guān)鍵數(shù)學(xué)家的貢獻，不僅豐富了他們對學(xué)科的認(rèn)識，而且也把他們置入了數(shù)學(xué)文化的氛圍。這還有一項好處，以講幾分鐘故事的方式，讓學(xué)生高度繃緊的神經(jīng)適時放松，提高課堂吸收的效率。當(dāng)然，這對教師提出了要求：讀一些好的學(xué)科史書和數(shù)學(xué)家傳記，由此 獲得啟發(fā)心智的歷史軌跡， 隨時穿插到自己的教學(xué)中。

【王玨老師呼應(yīng)：“學(xué)科發(fā)展史”是全體老師的必修課，我?guī)啄陙硪恢痹诤粲?！貌似目前還沒有受到廣大師范院校、教師培訓(xùn)機構(gòu)的重視。。。】

寫得好的數(shù)學(xué)書邏輯嚴(yán)密，概念清晰，表達嚴(yán)謹(jǐn)，但是為了滿足“不說多余的話”這一寫作基本要求，它同時也詞句精煉。這最后一個特征往往給剛進大學(xué)初學(xué)高等數(shù)學(xué)的中學(xué)畢業(yè)生造成困難，因為他們還在習(xí)慣于灌輸式的初等教育。這時好老師的作用如“久旱逢甘霖”，其功能是 溯源概念的直覺原點，幾何化解析術(shù)語內(nèi)涵的邏輯關(guān)系，善用通俗易懂的等價說法復(fù)述概念的基本思想 。

【王玨老師呼應(yīng)：非常贊同這3條！個人理解：溯源直覺原點，這跟“學(xué)科發(fā)展史”有關(guān)；幾何化解析，應(yīng)該等同于我說的“可視化”，通俗易懂的等價方法，大約就是“類比"】

假如一個概念的定義嵌進了好幾個邏輯用詞，像“任給”、“存在”及“使得”的組合句子，非天才的學(xué)生可能讀了三遍五遍也可能沒有搞清邏輯關(guān)系，那么任課老師怎樣講得讓全班都能聽懂呢？

……我們看看怎樣教“函數(shù)的極限”這一概念……這個嚴(yán)格的定義是整個微積分的基礎(chǔ)，但是 太多的大學(xué)新生剛碰到它時被打得鼻塌嘴歪，包括考進南大數(shù)學(xué)系77級的一部分聰明人。可以說，能不能把這個定義教得讓幾乎所有同學(xué)感到自己的大腦已經(jīng)“脫胎換骨”，是 衡量能不能成為合格微積分課教師的試金石。

【王玨老師心得：無論教學(xué)改革怎么改， ”會講課“始終是老師的核心能力！ 一味強調(diào)”學(xué)生中心“，和一味強調(diào)”教師中心“一樣，都不可?。　?

首先，該教師必須對分析數(shù)學(xué)的基本語言“ε-δ”有深刻的領(lǐng)悟，對ε-δ語言中的邏輯體系透徹了解。他應(yīng)該用幾何的、易懂的中文語言講解這個數(shù)學(xué)語言，而不是照本宣科地將整個極限定義讀上幾遍。沒有從根本上啟發(fā)性地闡述概念，即便重復(fù)陳述定義十遍，即便學(xué)生能將它熟記于心，還不能保證他們真正理解了它。

讓我們仔細檢查極限的定義，搞清“任給”和“存在”的邏輯含義。沒人不會不懂“任給一個男人，存在一個女人年齡比他大”的意思，這里只需要找到一個比給定男人歲數(shù)大的女人就夠了，而無需找到最老的女人。貌似難懂的極限定義本質(zhì)上應(yīng)該和上句 有同樣的邏輯結(jié)構(gòu)，即正數(shù)ε給定后，只要找到保證定義末前一不等式隱含后一不等式的 某個正數(shù)δ，而無需解出最佳的δ，極限的定義就成立。或言之，滿足要求的這個δ依賴于ε，但它并非隨ε而被唯一確定， 只需找到一個就夠了，而不必費力氣找到“最優(yōu)”的。

【王玨老師心得：這里丁教授采用的是”類比 “的手法--即前文所說“” 通俗易懂的等價方法。類比，是 借助學(xué)生所熟悉的事物/現(xiàn)象/語言，來理解陌生的、晦澀的、抽象的知識——因二者有相同的”內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征“，因此很容易理解，本公眾號有多篇介紹“類比”思維機制的文章。 】

我用一個稍微高級點的數(shù)學(xué)例子來說明。假設(shè)一位動力系統(tǒng)的好手為他的弟子開了一門研究生基礎(chǔ)課《遍歷理論導(dǎo)引》。這門課中的一個經(jīng)典結(jié)果叫做“伯克霍夫逐點遍歷定理”，它的數(shù)學(xué)結(jié)論是一個等式，等式的左端是一個“平均和”的極限表達式，稱為“時間平均”：

lim n →∞ (1/n) Σ k=0 n-1 χ A (S k (x 0 ))，

……（具體講解過程請參見原文）李天巖教授在講解的過程中，手嘴并用，說到上文中的某個“部分表達式”，他的手專指那個部分，學(xué)生一邊聽講，一邊目睹， 心領(lǐng)神會。他將時間平均表達式的演化過程講得再清楚不過了，班上的同學(xué)從他對概念 來龍去脈的邏輯梳理，輔之于他那 高低起伏的音量調(diào)節(jié)、 表情豐富的面部變化、 手舞足蹈的肢體表演，一下子明白了這個長式子“不過如此”，順利攻破“時間平均”這塊堡壘。

原文地址：https://mp.weixin.qq.com/s/Jr4AJPD9BtohTPiaRVUt8Q

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