題型一：利用勾股定理求線段長
如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF的長．
(資料圖片)
解：如圖，連接BD.
∵等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC(等腰三角形三線合一)，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.
∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.
∴∠FDC＝∠EDB.
在△EDB與△FDC中，
∠ EDB= ∠ C
BD= CD
∠ EDB= FDC
∴△EDB≌△FDC(ASA)，
∴BE＝FC＝3.∴AB＝7，則BC＝7.∴BF＝4.
在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF＝5.
題型二：利用勾股定理作長為的線段
已知線段a，作長為√13a的線段時(shí)，只要分別以長為2a和3a的線段為直角邊作直角三角形，則這個(gè)直角三角形的斜邊長就為 √13a.
題型三：利用勾股定理證明線段相等
如圖，在四邊形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，
AD2＝2AB2－CD2.求證：AB＝BC.
證明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．
由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，
∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
∴AB2＋BC2＝2AB2，
故BC2＝AB2，即AB＝BC.
題型四：利用勾股定理證明線段之間的平方關(guān)系
如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點(diǎn)P. 求證：BP2＝BC2＋AP2.
證明：如圖，連接BM.
∵PM⊥AB，
∴△BMP和△AMP均為直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，
∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
題型五：利用勾股定理解非直角三角形問題
如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的長．
解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.
∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，
∴CD＝1/2AC＝5.
∴在Rt△ACD中，
AD＝＝＝5.
∴在Rt△ABD中，BD＝＝11.
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
題型六：利用勾股定理解實(shí)際生活中的應(yīng)用
在某段限速公路BC上(公路視為直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高
行駛速度不能超過60 km/h，并在離該公路100 m處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測點(diǎn)A.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45°方向上．另外一條公路在y軸上，AO為其中的一段．
(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)一輛汽車從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15 s，通過計(jì)算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速．(參考數(shù)據(jù)：≈1.7)
解：∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，
100＋100/15 ≈18>50/3，
∴這輛汽車超速了．
題型七：利用勾股定理探究動(dòng)點(diǎn)問題
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1 cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
(1)求BC邊的長；
解：在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，
∴BC＝4 cm.
(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，借助圖①求t的值；
故當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t＝4或t＝25/4.
(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，借助圖②求t的值．
解：①如圖①，當(dāng)BP＝AB時(shí)，t＝5；
②如圖②，當(dāng)AB＝AP時(shí)，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；
③如圖③，當(dāng)BP＝AP時(shí)，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t－4)2，解得t＝25/8
綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，
t＝5或t＝8或t＝25/8.
end
聲明：本文內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系原出處。 初三研究中心尊重版權(quán)，如有侵權(quán)問題，請及時(shí)與管理員聯(lián)系處理。
點(diǎn)擊 "閱讀原文" 查看2022中考專題
