正交矩陣是指其轉(zhuǎn)置等于逆的矩陣，性質(zhì)是逆也是正交陣、積也是正交陣。正交矩陣是實(shí)數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。正交矩陣不一定是實(shí)矩陣，實(shí)正交矩陣即該正交矩陣中所有元都是實(shí)數(shù)，可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復(fù)正交矩陣，這種復(fù)正交矩陣不是酉矩陣。
(相關(guān)資料圖)
正交矩陣的定義
如果：AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”。）或ATA=E，則n階實(shí)矩陣A稱為正交矩陣，若A為正交陣，則滿足以下條件:
1)AT是正交矩陣
2)（E為單位矩陣）
3)AT的各行是單位向量且兩兩正交
4)AT的各列是單位向量且兩兩正交
5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R
6)|A|=1或-1
7)
8)正交矩陣通常用字母Q表示。
(9)舉例：
若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，則有：
正交矩陣的性質(zhì)
矩陣性質(zhì)
實(shí)數(shù)方塊矩陣是正交的，當(dāng)且僅當(dāng)它的列形成了帶有普通歐幾里得點(diǎn)積的歐幾里得空間R的正交規(guī)范基，它為真當(dāng)且僅當(dāng)它的行形成R的正交基。假設(shè)帶有正交(非正交規(guī)范)列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒(méi)有特殊價(jià)值而沒(méi)有特殊名字；他們只是MM=D，D是對(duì)角矩陣。
1.逆也是正交陣;
2.積也是正交陣;
3.行列式的值為正1或負(fù)1。
任何正交矩陣的行列式是+1或?1。這可從關(guān)于行列式的如下基本事實(shí)得出：（注：反過(guò)來(lái)不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實(shí)。）
對(duì)于置換矩陣，行列式是+1還是?1匹配置換是偶還是奇的標(biāo)志，行列式是行的交替函數(shù)。
比行列式限制更強(qiáng)的是正交矩陣總可以是在復(fù)數(shù)上可對(duì)角化來(lái)展示特征值的完全的集合，它們?nèi)急仨氂?復(fù)數(shù))絕對(duì)值1。
