全等三角形的性質(zhì)
【資料圖】
對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等。
尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：
（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊。
（2）全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角。
（3）有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊。
（4）有公共角的，公共角常是對應(yīng)角。
（5）有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角。
（6）兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊（或最大角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對最短邊（或最小角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。
【解題關(guān)鍵】要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵。
全等三角形的判定方法
（1）邊角邊定理（SAS）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
（2）角邊角定理（ASA）：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
（3）邊邊邊定理（SSS）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
（4）角角邊定理（AAS）：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
（5）斜邊、直角邊定理（HL）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。
全等三形的應(yīng)用
運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線。
【拓展】通過判定兩個三角形全等，可證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系。而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)。
找全等三角形的方法
（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；
（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；
（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。
三角形中常見輔助線的作法
①延長中線構(gòu)造全等三角形；
②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；
③引平行線構(gòu)造全等三角形；
④作連線構(gòu)造等腰三角形。
（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。
【 例1】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。
【 題意分析】本題考查“等腰三角形的三線合一”定理的應(yīng)用。
【 解題思路】要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因?yàn)橛蠦D平分∠ABC的條件，可以和“等腰三角形的三線合一”定理結(jié)合起來。
【 解答過程】
【 點(diǎn)撥】等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識點(diǎn)和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。
（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。
【 例2】如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：△ABC是等腰三角形。
【 題意分析】本題考查全等三角形常見輔助線的知識。
【 解題思路】在證明三角形的問題中，特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了“AD又是BC邊上的中線”這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。
【 解答過程】
【 點(diǎn)撥】題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。
（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。
【 例3】已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB， AB＞AD。求證：∠B+∠ADC=180°。
【 題意分析】本題考查角平分線定理的應(yīng)用。
【 解題思路】因?yàn)锳C是∠BAD的平分線，所以可過點(diǎn)C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。
【 解答過程】
【 點(diǎn)撥】
①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線：
②見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。
（4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。
【 例4】如圖，△ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF，求證：DE=DF。
【 題意分析】本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。
【 解題思路】因?yàn)镈E、DF所在的兩個三角形△DEB與△DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換。過E作EG//CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。
【 解答過程】
【 點(diǎn)撥】此題的輔助線還有以下幾種作法：
【 歸納】添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形，而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的。不論是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對三角形作了一個以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。
（5）截長法與補(bǔ)短法：具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。
【 例5】如圖甲，AD// BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE= ∠ECB。求證：CD=AD+BC。
【 題意分析】本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補(bǔ)短法。
【 解題思路】結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。
【 解答過程】
證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙
end
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